向量代数与空间解析几何#
用向量描述方向，用方程描述位置.
向量积与混合积#
设 $\theta$ 为两非零向量的夹角，则：
$$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\theta,
\qquad
|\boldsymbol a\times\boldsymbol b|=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\sin\theta.$$
点积描述投影；叉积垂直于两向量，方向由右手定则决定，模长为对应平行四边形面积.
$$[\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c]
=(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c
=\det\begin{pmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{pmatrix}.$$
混合积的绝对值为平行六面体体积；为 $0$ 当且仅当三向量共面，即线性相关.
叉积不满足结合律，常用恒等式为：
$$\boldsymbol a\times(\boldsymbol b\times\boldsymbol c)
=(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c)\boldsymbol b
-(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)\boldsymbol c.$$
直线与平面#
过点 $\boldsymbol r_0$ ，方向向量为 $\boldsymbol v\ne0$ 的直线：
$$\boldsymbol r=\boldsymbol r_0+t\boldsymbol v.$$
过点 $\boldsymbol r_0$ ，法向量为 $\boldsymbol n\ne0$ 的平面：
$$\boldsymbol n\cdot(\boldsymbol r-\boldsymbol r_0)=0.$$
方向向量某分量为 $0$ 时，对称式应改写为对应坐标不变，不能出现除以 $0$ . 两平面的法向量不平行时，交线方向为 $\boldsymbol n_1\times\boldsymbol n_2$ .
点 $P$ 到直线、平面的距离分别为：
$$d_{\text{线}}=\frac{|\overrightarrow{P_0P}\times\boldsymbol v|}{|\boldsymbol v|},
\qquad
d_{\text{面}}=\frac{|\boldsymbol n\cdot\overrightarrow{P_0P}|}{|\boldsymbol n|}.$$
两条不平行直线的最短距离：
$$d=\frac{|\overrightarrow{P_1P_2}\cdot(\boldsymbol v_1\times\boldsymbol v_2)|}
{|\boldsymbol v_1\times\boldsymbol v_2|}.$$
平面夹角转为法向量夹角；直线与平面夹角是直线与法向量锐角的余角.
曲面与投影#
- 方程缺少某个坐标，通常表示沿该坐标轴方向延伸的柱面，不能仅凭名称认作圆柱面.
- 绕 $z$ 轴旋转时，母线中的到轴距离换成 $\sqrt{x^2+y^2}$ ，同时保留母线的取值限制.
- 求投影时消去垂直于投影面的坐标，并保留“存在实数解”给出的不等式范围.
常见二次曲面，取 $a,b,c>0$ ：
$$\begin{aligned}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1
&\quad\text{椭球面},\\
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1
&\quad\text{单叶双曲面},\\
\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
&\quad\text{双叶双曲面},\\
z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}
&\quad\text{椭圆抛物面},\\
z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}
&\quad\text{双曲抛物面},\\
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}
&\quad\text{椭圆锥面}.
\end{aligned}$$
判断图形时，先看符号与对称轴，再用平面截痕确认.
多元函数微分#
偏导只考察一个方向；可微要求所有方向上的变化能被同一个线性式控制.
多元极限#
$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=A$$
要求定义域内的点沿任意方式趋于 $(a,b)$ 时，函数值都趋于 $A$ .
- 找到两条路径给出不同极限，即可证明极限不存在.
- 沿所有直线极限相同，仍不足以证明二重极限存在.
- 两个累次极限相同，也不足以证明二重极限存在.
证明存在时，通常令 $r=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$ ，建立：
$$|f(x,y)-A|\le\omega(r),\qquad\omega(r)\to0.$$
极坐标换元后，应控制所有角度，不能只固定 $\theta$ 再令 $r\to0$ .
偏导与全微分#
$$f_x(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}h.$$
记 $\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ . 若：
$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho),$$
则称 $f$ 在该点可微，且：
$$A=f_x,\qquad B=f_y,\qquad dz=f_x\,dx+f_y\,dy.$$
关系为：
$$\text{偏导在邻域内存在且在该点连续}
\Rightarrow\text{可微}
\Rightarrow\begin{cases}\text{连续},\\\text{各偏导存在}.\end{cases}$$
这些逆推一般不成立；即使连续且各偏导存在，也未必可微.
直接验证可微时，计算：
$$\frac{f(a+h,b+k)-f(a,b)-f_x(a,b)h-f_y(a,b)k}
{\sqrt{h^2+k^2}}\to0.$$
若混合二阶偏导在邻域内连续，则 $f_{xy}=f_{yx}$ . 不能只因两者存在就交换次序.
复合函数求导#
设 $z=f(u,v)$ ，$u=u(x,y),v=v(x,y)$ ，各层函数可微，则：
$$z_x=f_u u_x+f_v v_x,\qquad z_y=f_u u_y+f_v v_y.$$
每条依赖路径上的导数相乘，再对所有路径求和.
若 $z=f(x,y(x))$ ，则：
$$\frac{dz}{dx}=f_x+f_y y'.$$
若 $f$ 二阶连续可微、$y$ 二阶可导，再求一次得到：
$$\frac{d^2z}{dx^2}=f_{xx}+2f_{xy}y'+f_{yy}(y')^2+f_y y''.$$
直接依赖与间接依赖都要计算；不能把 $y$ 既当独立变量又当常数.
隐函数#
若 $F(x_0,y_0,z_0)=0$ ，$F$ 在邻域内有连续偏导，且 $F_z(x_0,y_0,z_0)\ne0$ ，则局部可唯一写成 $z=z(x,y)$ ，并且：
$$z_x=-\frac{F_x}{F_z},\qquad z_y=-\frac{F_y}{F_z}.$$
由全微分 $F_xdx+F_ydy+F_zdz=0$ 即得.
隐函数组 $F(x,u,v)=G(x,u,v)=0$ 在偏导连续且：
$$\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}
=F_uG_v-F_vG_u\ne0$$
时，局部确定 $u(x),v(x)$ . 对原方程组求导，解线性方程组：
$$\begin{pmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}u'\\v'\end{pmatrix}
=-\begin{pmatrix}F_x\\G_x\end{pmatrix}.$$
雅可比为 $0$ 时，定理失效，不代表一定不存在隐函数.
方向导数与梯度#
对单位向量 $\boldsymbol e$ ，沿该方向的方向导数定义为：
$$D_{\boldsymbol e}f(\boldsymbol a)
=\lim_{t\to0^+}\frac{f(\boldsymbol a+t\boldsymbol e)-f(\boldsymbol a)}t.$$
若 $f$ 可微，则：
$$\nabla f=(f_x,f_y,f_z),\qquad
D_{\boldsymbol e}f=\nabla f\cdot\boldsymbol e.$$
因为可微展开给出 $f(\boldsymbol a+t\boldsymbol e)-f(\boldsymbol a)=t\nabla f\cdot\boldsymbol e+o(t)$ .
- 梯度非零时，梯度方向增长最快，最大方向导数为 $|\nabla f|$ .
- 负梯度方向下降最快，最小方向导数为 $-|\nabla f|$ .
- 梯度垂直于该点的正则等值面.
方向向量必须先单位化. 各方向导数存在，仍不保证可微，也不能直接套梯度公式.
切线与切平面#
正则参数曲线 $\boldsymbol r(t)$ 在 $t_0$ 处以 $\boldsymbol r'(t_0)\ne0$ 为切向量：
$$\boldsymbol r=\boldsymbol r(t_0)+s\boldsymbol r'(t_0).$$
法平面以同一向量为法向量：
$$\boldsymbol r'(t_0)\cdot[\boldsymbol r-\boldsymbol r(t_0)]=0.$$
对 $F(x,y,z)=0$ ，若 $F$ 连续可微且 $\nabla F(P)\ne0$ ，切平面为：
$$\nabla F(P)\cdot(\boldsymbol r-\boldsymbol r_P)=0.$$
法线方向为 $\nabla F(P)$ . 对图形 $z=f(x,y)$ ，切平面即：
$$z-z_0=f_x(P)(x-x_0)+f_y(P)(y-y_0).$$
泰勒公式与极值#
若 $f$ 在该点附近有连续二阶偏导，则：
$$\begin{aligned}
f(a+h,b+k)=f(a,b)&+f_xh+f_yk\\
&+\frac12(f_{xx}h^2+2f_{xy}hk+f_{yy}k^2)+o(h^2+k^2),
\end{aligned}$$
右侧各偏导均取在 $(a,b)$ . 一般 $n$ 阶情形可令 $g(t)=f(a+th,b+tk)$ ，转为 $t$ 的一元泰勒公式.
内点可微且取极值，则 $f_x=f_y=0$ . 在驻点记：
$$A=f_{xx},\qquad B=f_{xy},\qquad C=f_{yy},\qquad\Delta=AC-B^2.$$
- $\Delta>0,A>0$ ：严格极小值.
- $\Delta>0,A<0$ ：严格极大值.
- $\Delta<0$ ：鞍点，不是极值.
- $\Delta=0$ ：不能判定，需看高阶项或回到增量符号.
判别来自二次型 $Ah^2+2Bhk+Ck^2$ 的正负性. 求闭有界区域上的连续函数最值，还需检查不可微点与边界.
条件极值#
在约束 $g(x,y)=0$ 下，若极值点处 $\nabla g\ne0$ ，且 $f,g$ 连续可微，则存在 $\lambda$ ，使：
$$\nabla f=\lambda\nabla g,\qquad g=0.$$
约束曲线的切向变化不应使 $f$ 产生一阶增量，因此 $\nabla f$ 与约束法向量平行.
多个约束时：
$$\nabla f=\sum_i\lambda_i\nabla g_i,\qquad g_i=0,$$
要求约束梯度在候选点线性无关. 乘数法只给候选点；约束奇异点、边界及是否能取到最值，都需另行检查.
重积分#
把面积或体积上的分布累加.
化为累次积分#
以下以连续被积函数和分段光滑边界的有界区域为常用前提.
若 $D=\{(x,y):a\le x\le b,\ \varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)\}$ ：
$$\iint_D f\,dA=\int_a^b\left[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,dy\right]dx.$$
换序时先重新描述同一个区域，再写上下限. 外层范围是区域的投影，内层范围是固定外层变量后的截线；边界表达式变化处需要分段.
三重积分可先投影到 $xy$ 平面：
$$\iiint_\Omega f\,dV
=\iint_D\left[\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\,dz\right]dA.$$
换元与雅可比#
若换元在区域内部一一对应、连续可微且雅可比非零，则：
$$\iint_D f(x,y)\,dx\,dy
=\iint_G f(x(u,v),y(u,v))
\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|du\,dv.$$
雅可比表示局部面积的伸缩倍数；重积分取绝对值. 三维换元同理，使用三阶行列式. 常用坐标的轴、原点等退化集合可分块处理，不影响通常的体积或面积积分.
极坐标：
$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta.$$
柱坐标：
$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz.$$
球坐标取 $\varphi$ 为与正 $z$ 轴的夹角：
$$\begin{aligned}
x&=\rho\sin\varphi\cos\theta,\\
y&=\rho\sin\varphi\sin\theta,\\
z&=\rho\cos\varphi,
\end{aligned}
\qquad
dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.$$
通常 $r,\rho\ge0,\ 0\le\varphi\le\pi$ . 换元必须同时改变被积函数、积分区域与面积或体积元.
对称性#
若区域关于 $y$ 轴对称，则对 $x$ 为奇函数的可积函数，积分为 $0$ ；偶函数可取半域积分后乘 $2$ . 其他反射对称同理.
若区域在交换 $x,y$ 后不变，则：
$$\iint_D f(x,y)\,dA=\iint_D f(y,x)\,dA.$$
对称性同时依赖区域与被积函数. 不存在通常积分的奇异表达式，不能靠对称性宣布积分为 $0$ .
质量、质心与转动惯量#
设体密度为 $\rho$ ，总质量 $M>0$ ：
$$M=\iiint_\Omega\rho\,dV,\qquad
\bar x=\frac1M\iiint_\Omega x\rho\,dV,$$
$\bar y,\bar z$ 同理. 面密度情形改用二重积分.
绕 $z$ 轴的转动惯量：
$$I_z=\iiint_\Omega(x^2+y^2)\rho\,dV.$$
一般形式是“到旋转轴的距离平方乘质量微元”. 只有区域与密度共同对称时，才能用对称性确定质心.
曲线积分与曲面积分#
第一类累加数量，第二类累加沿指定方向的分量.
第一类曲线积分#
对分段光滑曲线 $\boldsymbol r(t)$ ，$a\le t\le b$ ：
$$\int_L f\,ds=\int_a^b f(\boldsymbol r(t))|\boldsymbol r'(t)|\,dt.$$
其中 $ds$ 是弧长微元，非负；改变曲线方向不改变积分. 参数区间应将曲线描出一次.
第二类曲线积分#
设向量场 $\boldsymbol F=(P,Q,R)$ ，曲线按 $t$ 增大方向定向，则：
$$\begin{aligned}
\int_L P\,dx+Q\,dy+R\,dz
&=\int_L\boldsymbol F\cdot d\boldsymbol r\\
&=\int_a^b\boldsymbol F(\boldsymbol r(t))\cdot\boldsymbol r'(t)\,dt.
\end{aligned}$$
反向后积分变号. 若 $\boldsymbol\tau$ 为正向单位切向量，则：
$$\int_L\boldsymbol F\cdot d\boldsymbol r=\int_L\boldsymbol F\cdot\boldsymbol\tau\,ds.$$
做功属于第二类：力沿运动方向的分量乘弧长.
格林公式#
设平面区域 $D$ 的边界分段光滑，$P,Q$ 在包含 $D$ 及边界的开集上具有连续一阶偏导，则：
$$\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy
=\iint_D\left(Q_x-P_y\right)dA.$$
边界取正向：沿边界前进，区域位于左侧. 外边界逆时针，孔洞边界顺时针.
由此可得面积公式：
$$|D|=\frac12\oint_{\partial D}(x\,dy-y\,dx).$$
开曲线可补成闭曲线再减去补线积分. 区域内存在奇点时，不能直接套公式；可挖去奇点附近的小区域，并保留新增边界的积分.
路径无关与势函数#
在连通开区域内，对连续向量场，下列性质等价：
- 曲线积分只依赖起终点.
- 任意闭曲线上的积分为 $0$ .
- 存在势函数 $u$ ，使 $du=P\,dx+Q\,dy+R\,dz$ .
此时：
$$\int_A^B\boldsymbol F\cdot d\boldsymbol r=u(B)-u(A).$$
平面上，若 $P,Q$ 连续可微，$P_y=Q_x$ 是必要条件；区域再满足单连通时，也是充分条件. 有孔区域不能只检查偏导相等.
求势函数时可先写：
$$u(x,y)=\int P(x,y)\,dx+C(y),$$
再由 $u_y=Q$ 确定 $C(y)$ . 这里的“积分常数”可以依赖未积分的变量.
第一类曲面积分#
对正则参数曲面 $\boldsymbol r(u,v)$ ：
$$\iint_\Sigma f\,dS
=\iint_G f(\boldsymbol r(u,v))
|\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v|\,du\,dv.$$
若曲面为 $z=z(x,y)$ ，则：
$$dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dx\,dy.$$
第一类与定向无关. 令 $f=1$ 得到曲面面积；若一个投影点对应多层曲面，需分片计算.
第二类曲面积分#
选定单位法向量 $\boldsymbol n$ 后，通量为：
$$\iint_\Sigma\boldsymbol F\cdot\boldsymbol n\,dS
=\iint_\Sigma P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy.$$
若 $\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v$ 与所选法向一致，则：
$$\iint_\Sigma\boldsymbol F\cdot\boldsymbol n\,dS
=\iint_G\boldsymbol F(\boldsymbol r(u,v))\cdot
(\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v)\,du\,dv.$$
叉积方向相反时添负号. 对 $z=z(x,y)$ 取向上侧：
$$\boldsymbol n\,dS=(-z_x,-z_y,1)\,dx\,dy,$$
故：
$$\iint_\Sigma\boldsymbol F\cdot\boldsymbol n\,dS
=\iint_D(-Pz_x-Qz_y+R)\,dx\,dy,$$
其中 $P,Q,R$ 均代入 $z=z(x,y)$ . 取向下侧则整体变号. 各分量有方向，不能像重积分换元一样一律取绝对值.
高斯公式#
若 $\Omega$ 为边界分段光滑的有界立体，$\boldsymbol F$ 在包含立体及边界的开集上连续可微，则：
$$\iint_{\partial\Omega}\boldsymbol F\cdot\boldsymbol n\,dS
=\iiint_\Omega\operatorname{div}\boldsymbol F\,dV,$$
$$\operatorname{div}\boldsymbol F=P_x+Q_y+R_z.$$
闭曲面取外侧；若立体含空腔，空腔边界的外法向指向空腔内部.
开曲面需补面闭合，再减去补面的通量. 散度为 $0$ 只有在整个区域满足条件时，才能推出闭曲面通量为 $0$ .
斯托克斯公式#
设 $\Sigma$ 是分片光滑的定向曲面，$\boldsymbol F$ 在其邻域连续可微，则：
$$\oint_{\partial\Sigma}\boldsymbol F\cdot d\boldsymbol r
=\iint_\Sigma(\nabla\times\boldsymbol F)\cdot\boldsymbol n\,dS,$$
$$\nabla\times\boldsymbol F=(R_y-Q_z,\ P_z-R_x,\ Q_x-P_y).$$
边界方向与法向满足右手规则. 在同一条边界上，可选另一张满足条件、方向相容且更易积分的曲面.
三条公式都把内部的局部变化累加为边界贡献：格林处理平面环流，高斯处理通量，斯托克斯处理空间环流.
无穷级数#
无穷求和的含义，是部分和的极限.
收敛与基本限制#
$$S_n=\sum_{k=1}^n u_k,\qquad
\sum_{n=1}^{\infty}u_n=S\iff S_n\to S\in\mathbb R.$$
收敛必有 $u_n\to0$ ，反之不成立. 修改有限项不改变敛散性，但会改变和.
对非负项级数，部分和单调递增，因此：
$$\sum u_n\text{ 收敛}\iff\{S_n\}\text{ 有上界}.$$
收敛级数保持顺序的有限分组不改变和；分组后收敛不能反推原级数收敛. 任意重排还需更强条件.
正项级数审敛#
以下比较允许忽略有限个首项，设各项非负，作比值时分母为正.
比较判别：若 $0\le u_n\le v_n$ ，则 $\sum v_n$ 收敛推出 $\sum u_n$ 收敛；$\sum u_n$ 发散推出 $\sum v_n$ 发散.
极限比较：若 $u_n/v_n\to c\in(0,+\infty)$ ，则二者同敛散. 若比值趋于 $0$ ，只能由较大者收敛推较小者收敛；趋于 $+\infty$ 时反向作相应比较.
基准级数：
$$\sum_{n=0}^{\infty}q^n\text{ 收敛}\iff |q|<1,\qquad
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}\text{ 收敛}\iff p>1.$$
比值、根值判别：若极限存在，记：
$$L=\lim\frac{u_{n+1}}{u_n}
\quad\text{或}\quad
L=\lim\sqrt[n]{u_n}.$$
- $L<1$ ：收敛.
- $L>1$ ，包括 $+\infty$ ：发散.
- $L=1$ ：无法判定.
比值法适合阶乘、连乘，根值法适合 $n$ 次幂. 二者本质上与几何级数比较，不是与 $p$ 级数比较.
积分判别：若 $f$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续、非负、单调递减，则：
$$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)\quad\text{与}\quad\int_1^{+\infty}f(x)\,dx$$
同敛散. 若收敛，余项还满足：
$$\int_{N+1}^{\infty}f(x)\,dx
\le\sum_{n=N+1}^{\infty}f(n)
\le\int_N^{\infty}f(x)\,dx.$$
交错级数与绝对收敛#
若 $a_n\ge0$ 单调递减到 $0$ ，则：
$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n$$
收敛，且 $|S-S_N|\le a_{N+1}$ . 若从某项起才单调，则余项估计也从该处以后使用.
理由：偶数部分和递增，奇数部分和递减，二者之差为趋于 $0$ 的一项，因此夹向同一极限.
- $\sum|u_n|$ 收敛：称为绝对收敛，必有 $\sum u_n$ 收敛.
- $\sum u_n$ 收敛而 $\sum|u_n|$ 发散：称为条件收敛.
变号级数先检查绝对收敛，再根据符号结构判断. 正项级数的比较判别不能直接套在任意变号级数上.
绝对收敛允许任意重排而不改变和；条件收敛一般不允许. 对绝对收敛级数，柯西乘积满足：
$$\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_n\right)
\left(\sum_{n=0}^{\infty}b_n\right)
=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}\right).$$
幂级数与收敛半径#
$$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n.$$
存在 $R\in[0,+\infty]$ ，使：
- $|x-x_0|<R$ ：绝对收敛.
- $|x-x_0|>R$ ：发散.
- $|x-x_0|=R$ ：有限正半径时，两端点分别代入判定.
若系数最终非零且比值极限存在：
$$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|.$$
更一般地：
$$\frac1R=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|},$$
约定 $1/0=+\infty,\ 1/(+\infty)=0$ . 缺项或含 $(x-x_0)^{2n}$ 的级数，可先对整个通项做比值或根值判别，不能把指数 $2n$ 当作 $n$ .
半径内绝对收敛的原因：若在 $x_1\ne x_0$ 处收敛，则 $|a_n(x_1-x_0)^n|$ 有界，从而：
$$|a_n(x-x_0)^n|
\le M\left|\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\right|^n.$$
当 $|x-x_0|<|x_1-x_0|$ 时，右侧为可求和的几何控制项.
逐项求导与积分#
在 $|x-x_0|<R$ 内，若 $S(x)=\sum a_n(x-x_0)^n$ ：
$$S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na_n(x-x_0)^{n-1},$$
$$\int_{x_0}^x S(t)\,dt
=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}.$$
求导、积分后收敛半径不变，但端点敛散性可能改变，必须重新检查.
求和时常将 $n,n(n-1)$ 转成求导，将 $1/(n+1)$ 转成积分，再利用几何级数. 积分后用中心点的值确定常数.
泰勒级数#
若函数能在 $x_0$ 附近展开为幂级数，则系数必为：
$$a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}.$$
但无穷次可导并不保证等于其泰勒级数. 还需对所讨论的 $x$ 证明泰勒余项 $R_n(x)\to0$ .
常用展开：
$$\begin{aligned}
\frac1{1-x}&=\sum_{n=0}^{\infty}x^n&&(|x|<1),\\
e^x&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}&&(x\in\mathbb R),\\
\sin x&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}&&(x\in\mathbb R),\\
\cos x&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}&&(x\in\mathbb R),\\
\ln(1+x)&=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}&&(-1<x\le1),\\
\arctan x&=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}&&(-1\le x\le1),\\
(1+x)^\alpha&=\sum_{n=0}^{\infty}\binom\alpha n x^n&&(|x|<1).
\end{aligned}$$
广义二项式的端点需按 $\alpha$ 单独判断；$\alpha$ 为非负整数时退化为有限多项式，对所有实数成立.
由几何级数逐项积分得到对数展开；由 $1/(1+x^2)$ 的展开积分得到反正切展开. 这样也同时确定了内部收敛范围，端点另作证明.
函数项级数的运算边界#
一般函数项级数逐点收敛，并不保证可以与积分、求导交换次序.
一致收敛要求误差对所有 $x$ 同时受控：
$$\sup_{x\in D}|S_N(x)-S(x)|\to0.$$
常用充分条件为 $|u_n(x)|\le M_n$ 且 $\sum M_n$ 收敛. 幂级数在收敛区间内部的任意闭子区间上一致收敛.
在闭区间上，连续项的一致收敛级数可逐项积分. 逐项求导还需额外条件，例如各项连续可导、导数级数一致收敛且原级数至少在一点收敛.
傅里叶级数#
用正交的三角函数，分解周期函数.
对周期为 $2l$ 的函数，写作：
$$f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}
\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right),$$
$$a_n=\frac1l\int_{-l}^l f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx\quad(n\ge0),$$
$$b_n=\frac1l\int_{-l}^l f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx\quad(n\ge1).$$
此处 $\sim$ 表示“对应的傅里叶级数”，不是等价无穷小，也未先断言处处相等.
系数来自正交性：与某个正弦或余弦相乘再积分，其他频率的项消失；常数函数的平方积分为 $2l$ ，其余基函数为 $l$ ，所以常数项写成 $a_0/2$ .
一组常用充分条件是：周期延拓后在一周期内分段 $C^1$ ，各分段的函数及导数有有限单侧极限. 此时级数在每点收敛到：
$$\frac{f(x^-)+f(x^+)}2.$$
连续点处就是 $f(x)$ ；跳跃点取左右极限平均. 端点也按周期延拓取左右极限，不能只看区间内的函数值.
- 偶函数：$b_n=0$ ，只有余弦项.
- 奇函数：$a_n=0$ ，只有正弦项.
- 只给出 $[0,l]$ 上的函数时，可作偶延拓得到余弦级数，或作奇延拓得到正弦级数.
半区间展开的系数相应为：
$$a_n=\frac2l\int_0^l f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx,
\qquad
b_n=\frac2l\int_0^l f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx.$$
两式分别用于偶延拓与奇延拓. 延拓方式决定边界处的跳跃与级数取值.