极限与连续#

$$用有限的条件，描述无限接近的过程.$$

极限#

数列 $a_n$ 收敛于 $A$ ，即：

$$\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb N,\ \forall n>N,\quad |a_n-A|<\varepsilon.$$

函数 $f(x)$ 在 $x\to a$ 时趋于 $A$ ，即：

$$\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\quad 0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon.$$

其中 $\delta$ 可以依赖于 $\varepsilon$ ，不能依赖于选取的 $x$ . 极限与 $f(a)$ 是否定义无关.

  • 左极限：$0<a-x<\delta$ .
  • 右极限：$0<x-a<\delta$ .
  • 双侧极限存在，当且仅当左右极限存在且相等.

数列极限只控制离散的点，不能直接当作函数极限使用. 找到两列趋于同一点、函数值却趋于不同值的点，即可否定函数极限的存在.

极限存在准则#

夹逼准则：若最终有 $a_n\le b_n\le c_n$ ，且 $a_n,c_n\to A$ ，则 $b_n\to A$ . 函数极限同理.

单调有界准则：单调递增且有上界，或单调递减且有下界的数列必收敛.

对于递推数列 $a_{n+1}=F(a_n)$ ，先证明单调、有界，再在 $F$ 连续时令：

$$A=F(A).$$

解出这个方程只能得到候选极限，不能替代收敛性的证明.

无穷小与阶#

以下比较均在同一趋近过程中进行，分母最终非零.

$$\begin{aligned} \alpha=o(\beta)&\iff\frac{\alpha}{\beta}\to0,\\ \alpha\sim\beta&\iff\frac{\alpha}{\beta}\to1,\\ \alpha=O(\beta)&\iff\left|\frac{\alpha}{\beta}\right|\text{ 最终有界}. \end{aligned}$$

无穷小是趋于 $0$ 的量；无穷大要求绝对值趋于 $+\infty$ ，比“无界”更强.

当 $x\to0$ 时：

$$\begin{aligned} \sin x&\sim\tan x\sim\arcsin x\sim\arctan x\sim x,\\ 1-\cos x&\sim\frac{x^2}{2},\\ e^x-1&\sim\ln(1+x)\sim x,\\ a^x-1&\sim x\ln a\quad(a>0,\ a\ne1),\\ (1+x)^\alpha-1&\sim\alpha x\quad(\alpha\ne0). \end{aligned}$$

等价代换适用于乘除中的因子. 加减中若低阶项抵消，必须继续保留高阶项.

更准确地，$u\sim u_0,\ v\sim v_0$ 只给出：

$$u-v=u_0-v_0+o(u_0)+o(v_0).$$

要得到 $u-v\sim u_0-v_0$ ，还需误差为 $o(u_0-v_0)$ .

重要极限#

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e.$$

对于幂指型极限，底数最终为正时：

$$u(x)^{v(x)}=\exp\bigl(v(x)\ln u(x)\bigr).$$

特别地，若 $u\to0$ 且 $uv\to L\in\mathbb R$ ，则：

$$(1+u)^v\to e^L.$$

因为 $v\ln(1+u)=uv\cdot\dfrac{\ln(1+u)}u\to L$ .

当 $x\to+\infty$ ，对任意 $p,q>0,\ a>1$ ：

$$(\ln x)^p=o(x^q),\qquad x^q=o(a^x).$$

连续与间断#

连续要求：

$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a).$$

间断点按单侧极限区分：

  • 可去间断点：左右极限有限且相等，但函数值未定义或不等于该极限.
  • 跳跃间断点：左右极限有限但不相等.
  • 第二类间断点：至少一侧不存在有限极限，包括无穷间断与振荡间断.

前两类合称第一类间断点. 修改一个点的函数值只能修复可去间断.

闭区间连续函数#

若 $f\in C[a,b]$ ，则：

  • 能取到最大值与最小值.
  • 能取到最小值与最大值之间的每个值.
  • 若 $f(a)f(b)<0$ ，则 $(a,b)$ 内至少存在一个零点.

零点定理保证存在；若再证明严格单调，就能保证唯一.

导数与微分#

用线性变化刻画局部变化.

可导与可微#

$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h.$$

若增量能写成：

$$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x),$$

则称可微，且 $dy=A\,dx$ .

一元函数中：

$$\text{可微}\iff\text{可导}\Rightarrow\text{连续},\qquad A=f'(a).$$

即：

$$f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h).$$

$dy$ 是 $\Delta y$ 的线性部分，一般不与 $\Delta y$ 相等. 连续也不必可导.

分段点处先检查连续，再分别用差商求左右导数；不能直接拼接两侧导函数的表达式.

隐函数与参数方程#

对 $F(x,y(x))=0$ 两边关于 $x$ 求导，所有含 $y$ 的项都要乘上相应的 $y'$ . 求二阶导数时再对整个等式求导.

设：

$$x=\varphi(t),\qquad y=\psi(t),\qquad\varphi'(t)\ne0.$$

则：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)},\qquad \frac{d^2y}{dx^2}=\frac1{\varphi'(t)}\frac d{dt}\left(\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\right).$$

本质上，$\dfrac d{dx}=\dfrac1{\varphi'(t)}\dfrac d{dt}$ . 二阶导数不是 $\psi''/\varphi''$ .

对数求导#

对于正值函数 $y=u(x)^{v(x)}$ ，先写：

$$\ln y=v\ln u.$$

从而：

$$y'=u^v\left(v'\ln u+v\frac{u'}u\right).$$

乘积、商式也可通过 $\ln|y|$ 转成加减，使用时需在相关因子非零的区间内讨论.

高阶导数#

莱布尼茨公式：

$$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n\binom nk u^{(k)}v^{(n-k)}.$$

每次求导都选择落在 $u$ 或 $v$ 上；$n$ 次中有 $k$ 次落在 $u$ 上的方式数为 $\binom nk$ .

常用形式：

$$\begin{aligned} (e^{ax})^{(n)}&=a^ne^{ax},\\ (\sin ax)^{(n)}&=a^n\sin\left(ax+\frac{n\pi}{2}\right),\\ (\ln x)^{(n)}&=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}\quad(x>0,\ n\ge1). \end{aligned}$$

中值定理与导数应用#

微分中值定理#

以下均要求在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，其中 $a<b$ .

罗尔定理：若 $f(a)=f(b)$ ，则存在 $\xi\in(a,b)$ ，使：

$$f'(\xi)=0.$$

拉格朗日中值定理：存在 $\xi\in(a,b)$ ，使：

$$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).$$

减去连接两端点的直线，即可转为罗尔定理：

$$F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).$$

柯西中值定理：若 $f,g$ 都满足上述条件，且 $g'(x)\ne0$ ，则：

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.$$

两个导数对应同一个 $\xi$ ，不能用两次拉格朗日定理直接替代.

应用时：

  • 函数差转导数：估计 $f(b)-f(a)$ ，或由导数界得到函数增量界.
  • 多个零点转导数零点：$f$ 有 $n+1$ 个不同零点且足够光滑，则 $f^{(n)}$ 至少有一个零点.
  • 遇到 $f'+pf$ ，考虑构造 $e^{\int p(x)\,dx}f(x)$ 后求导.

洛必达法则#

处理 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型商式. 在相应去心单侧邻域内，要求 $f,g$ 可导、$g'\ne0$ ，且 $f'/g'$ 有有限或无穷极限，才可得到：

$$\lim\frac fg=\lim\frac{f'}{g'}.$$

双侧极限可分别检查两侧；无穷远处同理.

  • $0\cdot\infty$ ：改成商式.
  • $\infty-\infty$ ：通分、有理化或提取主项.
  • $1^\infty,0^0,\infty^0$ ：先取对数.

每次使用都需重新检查未定式条件. $f'/g'$ 没有极限，不代表 $f/g$ 没有极限. 数列不能直接求导，需先建立相应的函数极限.

泰勒公式#

用多项式匹配函数在一点处的各阶变化.

若 $f$ 在 $a$ 附近具有至 $n$ 阶的连续导数，则当 $h\to0$ 时：

$$f(a+h)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+o(h^n).$$

这是带佩亚诺余项的形式，适合求极限. 上述是便于使用的充分条件，还可减弱.

若进一步在相关区间具有 $n+1$ 阶连续导数，则：

$$f(a+h)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k+ \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}h^{n+1},$$

其中 $\xi$ 位于 $a$ 与 $a+h$ 之间. 若 $|f^{(n+1)}|\le M$ ，则余项满足：

$$|R_n|\le\frac{M|h|^{n+1}}{(n+1)!}.$$

这是带拉格朗日余项的形式，适合误差估计与不等式.

在 $0$ 处的常用展开：

$$\begin{aligned} e^x&=\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+o(x^n),\\ \sin x&=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5),\\ \cos x&=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4),\\ \ln(1+x)&=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}+o(x^n),\\ (1+x)^\alpha&=\sum_{k=0}^n\binom\alpha k x^k+o(x^n),\\ \arctan x&=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+o(x^5). \end{aligned}$$

其中：

$$\binom\alpha k=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!},\qquad\binom\alpha0=1.$$

相减时展开到第一个不抵消的阶；若最终除以 $x^m$ ，总误差需控制到 $o(x^m)$ .

有限阶泰勒公式不等于无穷级数展开. 令 $n\to\infty$ 后能否表示原函数，还需证明余项趋于 $0$ .

极值与凹凸#

内点可导且取极值，则 $f'=0$ . 因而寻找最值时，应检查驻点、不可导点和区间端点.

  • $f'$ 由正变负：极大值；由负变正：极小值.
  • $f'(a)=0,\ f''(a)>0$ ：极小值；$f''(a)<0$ ：极大值.
  • $f''(a)=0$ 时，二阶判别法不能确定结论.

更一般地，若前 $n-1$ 阶导数在 $a$ 处为 $0$ ，第 $n$ 阶不为 $0$ ，且满足泰勒展开条件，则：

$$f(a+h)-f(a)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}h^n+o(h^n).$$

$n$ 为偶数时由系数正负判别极小或极大；$n$ 为奇数时不是极值点.

按同济教材的凹凸约定：$f''>0$ 时曲线为凹的（向上弯），$f''<0$ 时为凸的（向下弯）. 拐点要求曲线连续且凹凸性发生改变，$f''=0$ 只是候选条件.

渐近线与曲率#

若 $x\to a$ 的某侧有 $|f(x)|\to\infty$ ，则 $x=a$ 为垂直渐近线.

分别在 $x\to+\infty$ 与 $x\to-\infty$ 时计算：

$$k=\lim\frac{f(x)}x,\qquad b=\lim[f(x)-kx].$$

若二者均有限，则 $y=kx+b$ 为渐近线；$k=0$ 时为水平渐近线.

对足够光滑的曲线 $y=f(x)$ ：

$$ds=\sqrt{1+(y')^2}\,dx,\qquad K=\frac{|y''|}{[1+(y')^2]^{3/2}},\qquad R=\frac1K\quad(K>0).$$

这里弧长公式按 $x$ 递增取值；一般微元长度用 $|dx|$ . 曲率衡量单位弧长上的切线转角变化率.

不定积分#

求导的逆运算；结果是一族原函数.

原函数#

若在某区间内 $F'=f$ ，则：

$$\int f(x)\,dx=F(x)+C.$$

连续函数一定有原函数，但原函数未必能用初等函数表示. 同一区间上的两个原函数之差为常数；定义域不连通时，不同区间的常数可以不同.

以下仅保留常用的非幂函数积分，取 $a>0$ ：

$$\begin{aligned} \int\frac{dx}{x^2+a^2}&=\frac1a\arctan\frac xa+C,\\ \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}&=\arcsin\frac xa+C,\\ \int\frac{dx}{x^2-a^2}&=\frac1{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C,\\ \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}&=\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+C. \end{aligned}$$

各式均在被积函数有定义的区间上使用.

换元积分#

第一类换元来自复合函数求导：

$$\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx=F(\varphi(x))+C,\qquad F'=f.$$

第二类换元令 $x=\varphi(t)$ ：

$$\int f(x)\,dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt.$$

选定可回代的分支，积分后换回 $x$ .

  • $\sqrt{a^2-x^2}$ ：考虑 $x=a\sin t$ .
  • $\sqrt{a^2+x^2}$ ：考虑 $x=a\tan t$ .
  • $\sqrt{x^2-a^2}$ ：考虑 $x=a\sec t$ ，需按区间选择分支.
  • 多个分数次幂：取次数的公倍数，令 $x=t^m$ .

注意 $\sqrt{u^2}=|u|$ ，符号由换元区间决定.

分部积分#

由 $d(uv)=u\,dv+v\,du$ 得：

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$

选择原则：$du$ 使表达式简化，$dv$ 容易积分.

  • 多项式乘指数或三角函数：通常让多项式反复求导.
  • 对数或反三角函数：通常放入 $u$ ，消去其函数形式.
  • 积分后出现原积分：把原积分当作未知量，移项求解.

有理函数积分#

先将假分式做多项式除法，再把真分式分解为部分分式.

分母中的因子分别对应：

$$(x-a)^m\quad\longrightarrow\quad \sum_{k=1}^m\frac{A_k}{(x-a)^k},$$
$$(x^2+px+q)^m\quad\longrightarrow\quad \sum_{k=1}^m\frac{B_kx+C_k}{(x^2+px+q)^k},\qquad p^2-4q<0.$$

不可约二次因子的分子必须保留一次项；重因子必须补齐各次幂. 二次式配方后，拆出分母的导数与剩余项.

三角函数有理式可令 $t=\tan\dfrac x2$ ，得到：

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}.$$

这样可化成有理函数，但应先观察能否直接凑微分，以免表达式膨胀.

定积分#

将局部贡献累加，再令分割无限细.

定义与可积性#

将 $[a,b]$ 分成小区间，在每段取 $\xi_i$ ，记最大区间长度为 $\lambda$ . 若 $f$ 有界且：

$$\lim_{\lambda\to0}\sum_i f(\xi_i)\Delta x_i$$

存在，并与分割、取点无关，则此极限为 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ .

  • 连续函数可积.
  • 有界且仅有有限个间断点的函数可积.
  • 改变有限个点的值，不改变积分.

可积不等于存在原函数，两者不能混用.

对于连续函数，积分定义给出：

$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n f\left(\frac kn\right)=\int_0^1 f(x)\,dx.$$

识别数列和式时，要同时配出采样点与区间长度.

微积分基本定理#

设 $f\in C[a,b]$ ，令：

$$\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,dt.$$

则 $\Phi'(x)=f(x)$ . 因为：

$$\frac{\Phi(x+h)-\Phi(x)}h=\frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt\to f(x).$$

所以，若 $F'=f$ ：

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

更一般地，当 $f$ 连续、$u,v$ 可导时：

$$\frac d{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,dt =f(v(x))v'(x)-f(u(x))u'(x).$$

上限贡献减去下限贡献，各自乘链式求导因子. 若被积函数还显含 $x$ ，不能直接套此式.

积分中值定理#

若 $f\in C[a,b]$ ，则存在 $\xi\in[a,b]$ ，使：

$$\int_a^b f(x)\,dx=f(\xi)(b-a).$$

若再有连续、非负且不恒为零的权函数 $g$ ，则：

$$\int_a^b f(x)g(x)\,dx=f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx.$$

即连续函数的加权平均值仍能由某个函数值取到. 权函数变号时不能直接使用.

换元与对称性#

定积分换元时同步改变上下限：

$$\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f(x)\,dx =\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt.$$

这里可取 $f$ 连续、$\varphi$ 连续可导且值域在 $f$ 的定义区间内. 不需要额外“换回原变量”.

令 $x=a+b-t$ ，得到：

$$\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(a+b-x)\,dx.$$

故：

$$2\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b[f(x)+f(a+b-x)]\,dx.$$

奇偶性积分是它的特例. 对周期为 $T$ 的连续函数：

$$\int_a^{a+T}f(x)\,dx=\int_0^T f(x)\,dx.$$

反常积分#

无穷区间与无界被积函数，都通过极限定义：

$$\int_a^{+\infty}f(x)\,dx=\lim_{R\to+\infty}\int_a^R f(x)\,dx,$$
$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx \quad(a\text{ 为瑕点}).$$

极限有限才称收敛. 若有多个瑕点或两端无穷，必须拆开，要求各部分分别收敛. 正负无穷不能相互抵消；对称截断得到的主值不是通常意义的反常积分.

两个基准：

$$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}\text{ 收敛}\iff p>1,$$
$$\int_0^1\frac{dx}{x^p}\text{ 收敛}\iff p<1.$$

对于在瑕点之外连续的非负函数：

  • $0\le f\le g$ ：$\int g$ 收敛则 $\int f$ 收敛；$\int f$ 发散则 $\int g$ 发散.
  • 在瑕点附近 $f/g\to c\in(0,+\infty)$ ：两积分同敛散.
  • $\int|f|$ 收敛则 $\int f$ 收敛，反向不一定成立.

只比较造成反常的端点附近；其他部分也须正常可积.

定积分应用#

先写出微小部分的贡献，再决定积分变量与范围.

面积与体积#

平面区域：

$$A=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx.$$

上下边界发生交换时分段. 极坐标下，若区域被无重叠地扫过：

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta[r_2(\theta)^2-r_1(\theta)^2]\,d\theta, \qquad r_2\ge r_1\ge0.$$

已知垂直于 $x$ 轴的截面积 $S(x)$ ：

$$V=\int_a^bS(x)\,dx.$$

绕 $x$ 轴旋转时，截面若为圆环：

$$V=\pi\int_a^b[R(x)^2-r(x)^2]\,dx.$$

$R,r$ 是到旋转轴的距离；区域跨过轴时须重新确定截面，不能机械相减两条边界的平方.

圆柱壳法则使用：

$$dV=2\pi\cdot\text{半径}\cdot\text{高度}\cdot\text{厚度}.$$

需选择不会重复计数的壳层分割.

弧长#

对光滑曲线：

$$\begin{aligned} L&=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx,\\ L&=\int_\alpha^\beta\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt,\\ L&=\int_\alpha^\beta\sqrt{r(\theta)^2+[r'(\theta)]^2}\,d\theta. \end{aligned}$$

参数区间应恰好描出所需曲线一次；重复走过会重复计入长度.

物理量#

  • 变力做功：$dW=F(x)\,dx$ ，其中 $F$ 是沿运动方向的带符号分力.
  • 液体压力：$dP=\rho gh\,dA$ ，其中 $h$ 是距液面的深度.
  • 细杆质量：$dm=\rho(x)\,dx$ ，其中 $\rho$ 是线密度.

不要先套整个物体的公式；先确定每个微元的受力、深度或密度.

常微分方程#

由函数与其变化率之间的关系，反求函数.

本章是否属于“高等数学（一）”，按课程安排取用.

可分离变量#

$$y'=f(x)g(y).$$

在 $g(y)\ne0$ 的区间内：

$$\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,dx+C.$$

除以 $g(y)$ 前，另检查 $g(y_0)=0$ 对应的常值解 $y\equiv y_0$ ，否则会漏解.

齐次型方程#

$$y'=F\left(\frac yx\right).$$

在 $x\ne0$ 的区间内令 $y=ux$ ，则：

$$y'=u+xu',\qquad x\frac{du}{dx}=F(u)-u.$$

转为可分离变量方程. 除以 $F(u)-u$ 时，另检查其零点对应的直线解.

这里的“齐次型”指可按 $y/x$ 换元，与“齐次线性方程”的含义不同.

一阶线性方程#

$$y'+P(x)y=Q(x).$$

设 $P,Q$ 连续，取积分因子：

$$\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.$$

由于 $\mu'=P\mu$ ：

$$(\mu y)'=\mu Q.$$

故：

$$y=\frac1\mu\left(\int\mu Q\,dx+C\right).$$

积分因子的关键是把左端凑成乘积的导数. $\int P\,dx$ 选一个原函数即可，无需重复引入常数.

伯努利方程#

$$y'+P(x)y=Q(x)y^n,\qquad n\ne0,1.$$

在 $y\ne0$ 且各实数幂有定义的区间内，乘以 $y^{-n}$ ，令 $z=y^{1-n}$ ：

$$z'+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x).$$

转为一阶线性方程. $y=0$ 是否为解，应代入原方程另行检查.

降阶#

  • $y^{(n)}=f(x)$ ：连续积分 $n$ 次.
  • $y''=F(x,y')$ ：令 $p=y'$ ，得到 $p'=F(x,p)$ .
  • $y''=F(y,y')$ ：局部将 $p=y'$ 看作 $y$ 的函数，得到 $y''=p\dfrac{dp}{dy}$ .

第三种是在适合以 $y$ 为变量的区间内使用；若再除以 $p$ ，需另检查常值解.

二阶常系数线性方程#

$$y''+py'+qy=f(x).$$

通解为：

$$y=y_h+y_p,$$

其中 $y_h$ 是对应齐次方程的通解，$y_p$ 是非齐次方程的一个特解.

对齐次方程设 $y=e^{rx}$ ，得到特征方程：

$$r^2+pr+q=0.$$
  • 两个不同实根 $r_1,r_2$ ：$y_h=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$ .
  • 二重实根 $r$ ：$y_h=(C_1+C_2x)e^{rx}$ .
  • 共轭复根 $\alpha\pm i\beta$ ：$y_h=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$ .

非齐次项为 $e^{\lambda x}P_m(x)$ 时，设：

$$y_p=x^se^{\lambda x}Q_m(x),$$

其中 $Q_m$ 为待定系数的 $m$ 次多项式，$s$ 是 $\lambda$ 作为特征根的重数，不是根时取 $0$ .

若非齐次项为 $e^{\alpha x}[P_m(x)\cos\beta x+Q_n(x)\sin\beta x]$ ，设：

$$y_p=x^se^{\alpha x}[A_k(x)\cos\beta x+B_k(x)\sin\beta x], \qquad k=\max(m,n).$$

$s$ 为 $\alpha+i\beta$ 的特征根重数. 即使右端只有正弦或余弦，也通常要同时保留两项.

乘上 $x^s$ 是为了避开与齐次解重复的形式. 最后代回原方程求系数，再用初值确定任意常数.